Здравствуйте Артем!
В книге Памяти 1939-1940 Советско-Финляндская война на сайте
http://www.ipc.antat.ru/Ref/all.asp Вашего прадеда не нашел.
Просто, почти невозможно найти человека по фамилии,имени,отчеству.Вам нужно попробовать определить основные данные ,нужные для поиска:
1.Дата и место рождения.
(Красночикойский р-н с.Коротково-уроженец ??)Если Вы проживаете в Коротково или рядом с Красным Чикоем попробуйте спросить(запросить) в отделе Загс информацию,но скорее всего придется делать запрос в Читинский Гос. архив,т.к. прадед Ваш был до 1922 года рождения.
2.Районный военкомат призыва и воинское звание.
Попробуйте спросить(запросить)информацию по ,,Алфавитная книга призывников,,(может называться по другому) за 1936,37,38,39,40 г.Также в военкомате есть печатная книга Памяти,может в ней есть информация.
3.№воинской части или номер ППС(полевой почтовой станции).
Посмотрите в семейных архивах,спросите родственников, может сохранились фотографии,письма военного периода.По штампам на письмах можно определить №воинской части или номер ППС,которые нужны будут для последующей работы в архивах.
4.Данные о родственниках,ф. и. о. ,где проживали в тот период.(мама,папа,брат,сестра,жена,может есть дети)
Если воин погиб или пропал без вести,военкомат призыва выдавал справку родственникам или жене,на основании которой родителям или детям могли выплачивать пенсию.Соответственно можно(нужно) послать запрос в Пенсионный фонд Забайкальского края(если родственники проживали в тот период в Красночикойском районе)
5.Про финскую войну .
В мае-сентябре 1939г. на Халхин-голе был военный конфликт,а в декабре 1939 началась война с Финляндией.И Пятых Филипп Арсентьевич вполне мог быть призван в начале 1939г.,а в семейных преданиях- не вернулся с ,,финской,,.В местных СМИ проходила информация о книге Памяти забайкальцев погибших и пропавших без вести на Халхин-голе-попробуйте там найти информацию.
Возможно Ваш прадед не один призывался из села,надо распросить родственников,знакомых.Коротково старинное село(проживали в основном семейские),земляков должны помнить.
Более подробную информацию по поиску Вы найдете на Форуме в соответствующих разделах(формы запросов,какие документы могут находится в военкоматах,адреса архивов,,пароли,явки

,,).Успехов!
Повстяной Дмитрий Валериевич.